顶级数学家张益唐回归,他与陶哲轩等人到底在黎曼猜想上有哪些最近进展?
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来源:遇见数学
撰文:马库斯·杜·索托伊
翻译:谈天星
据中山大学微信公众号6月27日消息,27日下午,世界顶级数学家张益唐全职加盟中山大学。他证明了存在无穷多对间隙小于7000万的相邻素数对,在数学史上第一次实质性推进解决著名数论难题“孪生素数猜想”,并在与黎曼猜想有关的朗道-西格尔零点猜想上取得重要进展。
在牛津大学著名数学教授马库斯·杜·索托伊(MarcusduSautoy)在其代表性的数学科普书《悠扬的素数:黎曼猜想趣史》发行20多年后专门“追更”了近年素数研究的进展和突破,在追更的文章中,他称张益唐为“中国的拉马努金”,并全面描述了全球其他顶级数学家在这一领域的相关成就。
在黎曼猜想上,时隔多年的进展让人惊喜,而在素数问题上,包括陶哲轩等人都有所贡献。
素数的美妙之处在于,它们不会过时。科学理论兴衰更迭,岁岁枯荣,数学却最是长青。面对预示着科学新理论的革命,证明的力量令数学无可撼动。古希腊人于两千多年前首次提出的素数发现至今依然成立。
《悠扬的素数》讲述了一场传奇的接力赛,数学家们奔跑不歇,将素数的接力棒传递给下一代。两千多年了,人类一直试图理解素数,二十载光阴不过是一扇小小的窗户。自2003年本书首次出版以来,我们在奔赴终点线的路上走得更远了吗?黎曼假设离得证更近一步了吗?
我仍然认为,我们距离证明还差一个重要构想,但这并不是说,我们未曾取得关于素数的新发现。在过去的二十年里,一批年轻的以及不那么年轻的数学天才脱颖而出,向我们呈现了这些神秘事物的新面貌。
特别是,数学家们对于连续素数的间距问题提出了新见解。虽然欧几里得证明了素数永不枯竭,但正如高斯所见,越是通向数的宇宙深处,素数就越稀少。黎曼猜测,素数随机分布于所有的数中。随机性往往将事物集中在一起。你等一辆公交车,结果两辆一起出现。我们认为素数也是如此。
孪生素数猜想表明,虽然随着计数的增加,素数会变得稀少,但我们始终会遇见间距为2的两个素数。例如41和43,或是137和139。这是最为相近的素数(2和3除外),这类数被称为孪生素数。截至2023年,已知最大的一对孪生素数是
2996863034895×21290000-1和2996863034895×21290000+1
但这一猜想宣称,还有无穷多对更大的孪生素数。
这一猜想至今未能得证。然而在2013年,求证之路已迈出关键的第一步。追根溯源,令人意外。
中国的拉马努金
张益唐第一次听说孪生素数猜想时,还在上海上学。他出生于1955年,由外祖母,一个不识字的工厂工人抚养长大。他说:“那个年代很难找到上过大学的人,很难找到一本书。”他最终辍学了,靠着之前好不容易收集到的书自学。
“我为数学而生。”张益唐是这样说的,“有好些年都过得不太容易,但我没有放弃。我就是一直往前走,一直敦促自己。最重要的是好奇心,它让数学成了我生命里不可或缺的一部分。”
1985年,张益唐前往美国,来到普渡大学读博。在攻读数学期间,为了养活自己,他到处打零工,还在当地的一家赛百味干过一段时间。最终,在国内大学同学的帮助下,他在新罕布什尔大学找到了一份教职。他始终惦念着在上海上学时了解到的素数问题,尤其是关于素数间距的挑战。但他的研究并无进展。直到2012年,他已经很多年没有发表过任何原创内容了。他决定休息一段时间,于是动身前往科罗拉多,去观看朋友指挥的音乐会。“我是真的要度假,”他说,“我没有带任何书、本子、纸张,或是计算机。我都没有动过笔。”
演出当晚,前往会场之前,他去朋友家的花园里看鹿。不过,一旦被素数问题抓住,就很难忽视它。“有时候鹿很多,”他说,“但我一只也没瞧见,不过我有了思路。”他最终明白了该如何求证有无穷多对素数。他的素数间距没有孪生素数猜想说的那么小,但还是有界的。
要思考孪生素数问题,你可以在数轴上想象出一扇窗户,透过它,能看到三个连续的数。当这扇窗户在数的宇宙中向上移动时,由孪生素数猜想可知,我们可以无限次透过窗户看到两个素数。张益唐证出,如果窗口变大,能够看到7000万个连续的数,那么,当你将窗户向上移动时,就会无限次看到两个素数。
这么大一扇窗户似乎不足为奇,但是请注意,高斯已经证出,随着计数增加,素数会愈发稀少。因此,要想看到两个连续的素数,窗口也须变大。当我们放眼无穷多个数,查看一个没有尽头的数集时,7000万量级的窗口很快就会显得非常小。透过一扇给定尺寸的窗户,能无限次看到两个素数,这一事实令人惊叹,值得一证。
张益唐明白,如果他的证明是正确的,将会震惊素数界,这也意味着他的证明会经受严苛的审查。他曾试图发表兰道-西格尔零点猜想的证明,那是黎曼假设的弱化版。但那篇论文被驳回了,因为存在问题。现在有了新证明,他必须确保万无一失。他说:“我告诉自己,我需要特别仔细,要反复检查所有内容。这就花了很长时间。”
问题是,他在素数圈默默无闻,也没有任何成果。一篇论文的元数据——包括作者是谁,在哪里担任教授——给人留下的第一印象十分重要,就像我们喜欢依据封面评判一本书。自2001年就再未发表过论文的张益唐只能让封面下的证明来说话。
2013年4月,他向《数学年刊》提交了自己的论文,当初安德鲁·怀尔斯就是在这份刊物上发表了费马大定理的证明。一般来说,论文需要经过数年的审查,才能被接受发表。但张益唐的证明确实让人耳目一新。一个月内,论文就被接受了。他的成果令编辑们赞叹不已,新证明的消息传开了,甚至传到了《纽约时报》。张益唐开始受邀去各地演讲,去介绍他的伟大突破,包括去普林斯顿高等研究院。
正如彼得·萨纳克所评:“他不是那种之前就有很多成果的人。没人知道他。多亏了评审过程,在报社听到消息之前,研究院里就传开了。”
数学真美好。你可以是班里最安静的小孩、无名小辈、马德拉斯的职员、就职于末流美国大学的赛百味前职工,只要你的证明是正确的,数学就会为你说话。
张益唐的论文是从素数赛道冲向终点线的一大步。他的成果震惊了素数圈,为素数间距问题开启了新思路的闸门。紧随张益唐之后,又一篇论文的作者令人相当好奇。这是一位初出茅庐的新人。
新布尔巴基
数学家们在挑战黎曼假设或是费马大定理这样的问题时,总是各自为战。将某个标志性难题的证明冠以自己的名字一直被视为极大的荣誉。为证明费马大定理,安德鲁·怀尔斯在阁楼上奋斗了七年。为免共享荣誉,他没有让任何人知道自己在研究什么。鉴于怀尔斯多年来少有成果,许多人以为他已智尽能索。最终,他确实需要合作者理查德·泰勒(RichardTaylor)的帮助,才弥补了他在剑桥宣布证明后出现的漏洞。
不过,这种独自攻克难题的方法是否有效呢?数学家们有时也会寻求合作。“哈代与李特尔伍德”远比“哈代或李特尔伍德”战力更强。但你很少会见到大型数学科研团队展开合作。
来自剑桥的菲尔兹奖获得者蒂莫西·高尔斯并不认同孤军奋战能够取得最佳成果。维基百科等令人惊叹的协作成果让高尔斯深受启发,他认为,大规模合作必将更为有效地推进研究进程。数学界难道不能发挥好互联网新时代的价值,让沟通便利的数学家们在线携手共进吗?其他科学领域正是借此推出了极为成功的公众科学项目,让业余科学家协同研究。在牛津大学,“星系动物园”(GalaxyZoo)项目邀请天文爱好者参与星系图片的分类,最终发现了一座全新的星系,我们称之为绿豌豆(greenpea)。Foldit是华盛顿大学开发的一款公众科学计算机游戏,旨在探索蛋白质的折叠,这或许是理解痴呆等退行性疾病的关键。
高尔斯开始好奇,他能否借助自己的热门博客为数学做出同样的贡献。“博学项目”(PolymathProject)应运而生,旨在通过建立大型数学家团队,协同解决数学问题,任何人都可参与。人们不再秘密工作,等到完成证明,方才宣布,而是可以实时跟进,眼见证明初步形成,走过弯道,途经盲区,最终得证。该项目需要参与者做好冒险的准备,公开尝试或将无功而返的构思。正如高尔斯后来所写:“当参与者们靠近答案时,有起有伏,还有真实的紧张。谁能猜到,一个数学项目的日志读起来就像是惊险小说呢?”
高尔斯提出的第一项挑战是找到某个组合数学问题的初等证明,而组合数学正是他的研究领域。自2009年2月1日发布挑战后,项目开始缓慢推进。7小时后,来自加拿大不列颠哥伦比亚大学的一位数学家表示感兴趣。又过了15分钟,来自美国亚利桑那州的一位高中教师加入对话。3分钟后,数学界的重量级人物、菲尔兹奖得主陶哲轩(TerenceTao)提出了一些想法。
从这一刻起,进程开始加速。接下来的37天里,有27人贡献了大约800条实质性评论,共计17万字,构建出了一条新证明。高尔斯认为,这是独自研究五年才能取得的成果,如今仅在一个多月内就完成了。
不得不说,这并非真正的公众科学。参与这样高难度的数学研究,门槛极高。这27位合作者大多是知名数学家。尽管如此,一个证明由众多专业数学家共同完成,即便不是闻所未闻,也是罕见的新鲜事。高尔斯证明了大规模在线协同研究的概念是可行的。
陶哲轩非常喜欢这种方式,在“博学项目”启动后的几年里,他提供了许多问题和思路。2004年,陶哲轩将自己的名字写入了素数领域,他与英国数学家本·格林(BenGreen)宣布了一个证明,这一发现与算术级数中的素数有关。有时你会得到一串间隔相同的素数。例如,如果我从素数5开始,一直加6,就能得到五个素数:5,11,17,23,29。这些素数被称为算术级数中的素数。但遗憾的是,下一个数35并非素数。这类素数数列可以有多长呢?能否无限长呢?
2004年的纪录是连续出现23个素数,间隔为44546738095860。陶哲轩与格林能够证明,一组等差素数数列可以是任意长度的。不仅如此,每种固定长度的等差数列可以有无穷多个。这一惊人的发现令陶哲轩在2006年荣获菲尔兹奖。这并非他唯一的突破。正如颁奖词所说,他在众多数学领域中都做出了重要贡献,不单单是数论。高尔斯评论说:“据说大卫·希尔伯特是最后一位通晓一切数学知识的人,但要想发现陶哲轩的知识空白并不容易。如果你真的找到了,那么你很可能会在一年后发现,这一空白已被填补。”
陶哲轩的许多论文都是与人合作完成的,他喜欢和其他数学家合作,因而被誉为当代保罗·埃尔德什。10岁时,他在一场数学活动上遇见了埃尔德什。他还记得这位匈牙利人没有俯视他,而是将他视为数学同人。事实上,10岁的他很可能真的已经是数学家了。正因为陶哲轩热衷于合作,所以高尔斯的“博学项目”特别吸引他。
当张益唐宣布完他的素数间距证明后,陶哲轩建议“博学项目”接受挑战,将间距7000万缩减至更小。谁知道呢,也许他们能将间距缩小至孪生素数猜想提出的2。借助“博学项目”的博客与维基界面,经过几个月的密集工作,这支团队成功将7000万缩小至4680。然而,就在他们开始撰写成果时,另一条独立突破的消息在数学界传播开来。
带着礼物的智者
英国数学家詹姆斯·梅纳德(JamesMaynard)曾被几位同事告诫,要远离素数。正如哈代曾言:“每个笨蛋都能提出智者无法回答的素数问题。”然而,早在2013年,梅纳德刚刚在牛津完成博士学位之际,他还没有学会害怕素数。他决定在第一段博士后期间研究素数间距问题。这一无畏的态度得到了回报。
梅纳德采用了与张益唐截然不同的方式,并在2013年11月宣布,他已成功将素数间距缩小到了600。如果这一发现能够提前六个月,那么,因为在孪生素数猜想上取得突破而功成名就的便不会是张益唐,而是他了。尽管如此,梅纳德提出的方法以及他所取得的更小间距都令素数圈兴奋不已。“博学项目”团队特意停下了脚步,决定看看,如果结合梅纳德的方法,能否进一步缩小间距。果然,两相结合后,间距被缩小至246,至今保持着纪录。
梅纳德尝到了素数的甜头,而这一成果只是一系列新见解中的第一个。不同于他所证明的相近素数,他还证出素数的间距也可以很大。高斯关于素数会变得稀少的发现表明,素数p与下一个素数的平均间距应为p的对数。例如,360169是一个素数。360169的对数约为12. 8,果然,下一个素数是360181,间距为12。孪生素数猜想断言,存在无穷多对素数的间距小至2。例如,素数360287加2之后是它的孪生素数360289。但间距有时也会远超平均值。素数360653需加96才能得到下一个素数360749。据说间距有时会和logp的平方一样大(同前文注释所述,此处logp指lnp,后面指的也都是自然对数。——编者注),但要求证这一点还有很远的路要走。
2014年,梅纳德证出,对于任意数x,都存在小于x的连续素数对,它们的间距大于下面这个可怕的公式的值:
(logx)(loglogx)(loglogloglogx)(logloglogx)-2
与此同时(实际上仅相差一天),陶哲轩与包括本·格林在内的三位合作者宣布了以不同方法取得的同一成果。陶哲轩与梅纳德的成果如此同步,以至于陶哲轩曾经笑称,自己最近变得有些偏执。再度取得突破时,他的第一个念头是:我真希望梅纳德这回可别再抢占先机了。
梅纳德的公式中有如此多的对数,以至于让我想起了最爱的数学笑话:溺水的数论家会说什么?Loglogloglog……这个证明印证了埃尔德什关于素数间距的直觉,我们在第七章提到过。这位匈牙利人曾经疑惑是否有人能证出这一结果,并为这一问题的解答提供了他的第二项大奖:1万美元。尽管埃尔德什没能在生前见证这两条独立的证明,但他的一位长期合作者罗纳德·格雷厄姆(RonaldGraham)主动支付了这笔奖金。即便对数学家而言,这一公式也是相当可怕的,不过梅纳德的另一项素数贡献则通过了哈代的简洁性测试。
2016年,梅纳德证出,有无穷多个素数不包含数字7。这一数列从2,3,5,11,13,19,23,29开始,这么多的素数里都没有一个7。但是,随着计数增加,是否总能遇见不含7的素数,这一点还不得而知。毕竟,随着计数增加,数的位数也在增加,避开7就会越来越难。想象一个千万位的素数,你平均会遇见一百万个7,真的还能找到一个没有7的素数吗?梅纳德的构想表明,这是可能的。数字7并无特别之处。他证出,存在无穷多个不包含任意数字的素数。凭借对素数的非凡领悟,这位牛津大学教授在2022年赢得了数学界最高荣誉菲尔兹奖。他的下一项突破会是什么呢?我们都拭目以待。
自本书首次出版,迄今已有二十年,这部史诗般的交响乐又添加了一个重要乐章。新一代的数学之星正为这些诡秘莫测的数提供见解。过去二十年中,素数领域的研究成果异常丰硕,部分是因为互联网让数学家们得以广泛合作,再者也是因为我们有幸拥有这样一群令人振奋的数学新秀。然而,黎曼假设这一重要问题仍然遥不可及。本书的最后一个和弦依然等待着被听见。
马库斯·杜·索托伊
2023年1月于英国牛津
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